Mathématique Discrète | Énumération
L'énumération se traduit par le terme "compte". Dans le domaine des mathématiques, elle désigne un type de comptage lié à un événement ou à une situation donnée. En d'autres termes, l'énumération consiste à créer une liste complète et ordonnée de tous les éléments d'une collection. Dans les domaines mathématique et informatique, énumérer les éléments d'un ensemble est une pratique courante.
La théorie de comptage constitue une branche des mathématiques discrètes qui traite du dénombrement des événements possibles. C'est un élément clé de la probabilité, répondant à la question abstraite : "Combien ?"
Préliminaires : Sur les Choix
Il est souvent recommandé, pour bien combiner les nombres, de prêter attention aux mots "ET" et "OU" dans la description de la séquence de choix offerts.
Quelques précisions sur "ET" : - Cela correspond au produit cartésien d'ensembles. - Si on choisit un élément de l'ensemble A ET un élément de l'ensemble B, cela revient à sélectionner un élément du produit cartésien de A et B.
Quelques précisions sur "OU" : - Cela correspond à l'union d'ensembles. - Si on choisit un élément de l'ensemble A OU un élément de l'ensemble B, cela équivaut à sélectionner un élément de l'union de A et B.
Ces distinctions sont précieuses pour décrire une séquence de choix lors de la construction de l'ensemble d'objets d'intérêt en accordant une attention particulière aux mots "ET" et "OU".
Principe Fondamental de Comptage
Le principe fondamental du comptage affirme que le nombre total de résultats possibles issus de deux événements indépendants ou plus est le produit du nombre de résultats de chaque événement.
Exemple :
Imaginons qu'il y ait 3 chemises (nommons-les A, B et C) et 4 pantalons (appelons-les w, x, y et z). On obtient alors 3 * 4 = 12 tenues possibles :
Aw, Ax, Ay, Az,
Bw, Bx, By, Bz,
Cw, Cx, Cy, Cz.
Principe d'Inclusion et d'Exclusion (Règle de Soustraction)
Le principe d'inclusion et d'exclusion est une méthode qui permet de dénombrer les éléments dans l'union de deux ensembles finis.
Lorsqu'il s'agit de combinaisons et de probabilités, il est essentiel d'avoir une méthode de comptage pour éviter de compter un objet deux fois.
La formule (où n représente le nombre d'éléments) est :
[ n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) ]
L'exclusion de l'intersection des ensembles traite donc de la question de la duplication.
Règle du Produit
Cette règle indique que si l'on a n(A) façons d'accomplir A et n(B) façons d'accomplir B, alors le nombre de façons de réaliser A et B est n(A) * n(B). Cela est vrai si les méthodes pour réaliser A et B sont indépendantes ; c'est-à-dire que le choix pour réaliser B reste le même, peu importe le choix pour A.
La règle générale :
Il existe n(A) * n(B) * n(C) façons de réaliser A, B et C.
Règle de Somme
Cette règle indique que s'il existe n(A) façons d'accomplir A et, distinctement, n(B) façons d'accomplir B, alors le nombre de façons de réaliser A ou B est n(A) + n(B).
De manière générale :
Il existe n(A) + n(B) + n(C) façons de réaliser A ou B ou C.
Règle de Division
On a n/d façons d'accomplir une tâche si celle-ci peut être réalisée par un procédé pouvant se dérouler de n façons, avec d résultats correspondants par groupe.
